Circuit Notes · Formula Sheet

电路小抄 · 公式速查

01 / 03
考前 10 分钟

符号约定：相量默认有效值；功率因数角 φ = ψ_u − ψ_i；Y/Δ 公式中的 U_l、I_l 为线量，U_p、I_p 为相量；τ 的 R_eq 从动态元件两端看进去，独立源置零、受控源保留。

基本定律与等效 19

KCL

\sum i=0

任一节点或闭合割面，流入电流代数和为零；依据电荷守恒。

KVL

\sum u=0

任一闭合回路，电位升等于电位降；依据能量守恒与电位单值性。

独立方程数

n-1\ \text{个 KCL},\qquad b-n+1\ \text{个 KVL}

n 为节点数，b 为支路数；独立回路数也称网孔数。

电阻串并联

R_{eq}=\sum R_i,\qquad \frac{1}{R_{eq}}=\sum\frac{1}{R_i}

电容串并联

\frac{1}{C_{eq}}=\sum\frac{1}{C_i},\qquad C_{eq}=\sum C_i

与电阻相反：电容并联相加，串联取倒数。

电感串并联

L_{eq}=\sum L_i,\qquad \frac{1}{L_{eq}}=\sum\frac{1}{L_i}

无互感时与电阻同形。

分压与分流

U_1=U\frac{R_1}{R_1+R_2},\qquad I_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2}

Δ → Y

R_A=\frac{R_{AB}R_{AC}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}

其余两式按 A→B→C 轮换；分母是 Δ 三边之和。

Y → Δ

R_{AB}=\frac{R_AR_B+R_BR_C+R_CR_A}{R_C}

分子是 Y 三电阻两两乘积之和，分母是“对面”那个电阻。

对称 Δ-Y

R_Y=\frac{1}{3}R_\Delta

戴维南等效

U_{oc},\ R_{eq};\qquad I=\frac{U_{oc}}{R_{eq}+R_L}

先求开路电压，再求从端口看进去的等效电阻。

最大功率传输

R_L=R_{eq},\qquad P_{\max}=\frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}

直流，只调 $R_L$ 。 $R_{eq}$ 不含负载。

共轭匹配

Z_L=Z_{eq}^*=R_{eq}-jX_{eq},\qquad P_{\max}=\frac{|U_{oc}|^2}{4R_{eq}}

$R_L$ 与 $X_L$ 都可调。分母是 $4R_{eq}$ ，不是 $4|Z_{eq}|$ 。

只调模

|Z_L|=|Z_{eq}|

阻抗角固定。纯电阻负载则 $R_L=|Z_{eq}|$ ， $P_{\max}=|U_{oc}|^2/[2(R_{eq}+|Z_{eq}|)]$ 。

回路电流法

R_{11}I_1+R_{12}I_2=U_{s11}

自阻为正。互阻同向为正、反向为负。无伴电流源在两回路之间时用超回路。

结点电压法

G_{11}U_1-G_{12}U_2=I_{s11}

自导为正，互导为负。无伴电压源跨两结点时用超结点，并补电压约束。

替代定理

U_s=u\quad\text{或}\quad I_s=i

替代后其余支路不变。方向与原支路一致。控制量在该支路内部时不能换。

叠加定理

f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)

只适用于线性电路；功率是二次量，不能叠加。

电源置零

U_s\to 0\ \text{短路},\qquad I_s\to 0\ \text{开路}

受控源保留，控制变量随子电路重新标记。

正弦稳态与相量 15

瞬时值

u(t)=U_m\cos(\omega t+\psi)

有效值

U=\frac{U_m}{\sqrt2},\qquad U_m=\sqrt2 U

仪表读数、相量默认都用有效值。

相量

\dot U=U\angle\psi

角频率

\omega=2\pi f,\qquad T=\frac{1}{f}

元件阻抗

Z_R=R,\quad Z_L=j\omega L,\quad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}

阻抗模与角

|Z|=\sqrt{R^2+X^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{X}{R}

φ = ψu − ψi，是电压超前电流的相位差。

电抗

X=X_L-X_C=\omega L-\frac{1}{\omega C}

X > 0 感性，X < 0 容性，X = 0 阻性/谐振。

阻抗串并联

Z_{eq}=\sum Z_i,\qquad Y_{eq}=\sum Y_i

相量分压

\dot U_1=\dot U\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}

串联谐振

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

品质因数

Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}

这是串联。理想并联改为 $Q=R/(\omega_0 L)=\omega_0 CR$ 。

通频带

BW=\frac{\omega_0}{Q}

串联和理想并联都用这条，但 $Q$ 的定义不同。

并联谐振

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad Q=\frac{R}{\omega_0 L}

理想 $R\parallel L\parallel C$ ，电流源激励。谐振时电压最大， $I_L=I_C=QI_s$ 。

线圈并电容

\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{r^2}{L^2}},\qquad Z_0=\frac{L}{rC}

$r$ 与 $L$ 串联后再与 $C$ 并联，须 $r<\sqrt{L/C}$ 。 $Z_0$ 为纯电阻。

旋转因子

j=e^{j90^\circ},\qquad -j=e^{-j90^\circ}

乘 j 逆时针转 90°，乘 −j 顺时针转 90°。

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02 / 03
考前 10 分钟

交流功率 10

瞬时功率

p(t)=UI\cos\varphi+UI\cos(2\omega t+\psi_u+\psi_i)

通用式， $\varphi=\psi_u-\psi_i$ 。取电流为参考（ $\psi_i=0$ ）才得到带减号的展开式。

有功功率

P=UI\cos\varphi=I^2R=\frac{U_R^2}{R}

单位 W；只有电阻不可逆地消耗有功。

无功功率

Q=UI\sin\varphi=I^2X

单位 var；电感吸收正无功，电容发出无功（Q_C < 0）。

视在功率

S=UI=\sqrt{P^2+Q^2}

单位 VA；表征设备容量，不能直接相加。

复功率

\tilde S=\dot U\dot I^*=P+jQ

电流取共轭，辐角才是 ψu − ψi。

功率因数

\cos\varphi=\frac{P}{S}

无功符号

Q_L>0,\qquad Q_C<0

无功补偿量

Q_C=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)

把功率因数从 cosφ1 提高到 cosφ2 所需的无功。

补偿电容

C=\frac{P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)}{\omega U^2}

电容与感性负载并联，不改变负载本身的有功功率。

复功率守恒

\sum\tilde S=0

实部有功、虚部无功分别守恒；视在功率不守恒。

三相电路 10

Y 联结

U_l=\sqrt3 U_p,\qquad I_l=I_p

Δ 联结

U_l=U_p,\qquad I_l=\sqrt3 I_p

线电压相位

\dot U_{AB}=\dot U_A-\dot U_B=\sqrt3 U_p\angle(\psi_A+30^\circ)

正序、对称 Y： $\dot U_{AB}$ 超前 $\dot U_A$ $30^\circ$ 。负序改为滞后 $30^\circ$ ，模仍是 $\sqrt3$ 倍。

三相有功

P=\sqrt3 U_lI_l\cos\varphi=3U_pI_p\cos\varphi

三相无功

Q=\sqrt3 U_lI_l\sin\varphi

三相视在

S=\sqrt3 U_lI_l

两表法有功

P=P_1+P_2

三相三线制即可，Y、Δ 都行，负载可不对称。有中线电流则不成立。

两表法无功

Q=\sqrt3(P_1-P_2)

还要对称、正序。 $P_1$ 在 A 线、电压取 A–C； $P_2$ 在 B 线、电压取 B–C。负序改为 $\sqrt3(P_2-P_1)$ 。

中性点位移

\dot U_{N'N}=\frac{\dot U_A Y_A+\dot U_B Y_B+\dot U_C Y_C}{Y_A+Y_B+Y_C+Y_N}

负载相电压 $=\dot U-\dot U_{N'N}$ 。理想中线时位移为 0；无中线则 $Y_N=0$ 。

相电压 220 V

U_l=\sqrt3\times220\approx380\ \text{V}

理想变压器 07

电压比

\frac{\dot U_1}{\dot U_2}=n=\frac{N_1}{N_2}

电流比

\frac{\dot I_1}{\dot I_2}=\frac{1}{n}

这里 i2 定义为从同名端流出；若两电流都从同名端流入，比值取负。

阻抗折算

Z_{in}=n^2Z_L

副边折原边

Z_2'=n^2Z_2

原边折副边

Z_1'=\frac{Z_1}{n^2}

理想条件

L_1,L_2\to\infty,\qquad k=1

无损耗、无储能；折算后变压器从等效电路中“消失”。

变比 1:1

n=1\Rightarrow \dot U_2=\dot U_1,\qquad Z_{in}=Z_L

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03 / 03
考前 10 分钟

动态电路 11

伏安关系

i_C=C\frac{du_C}{dt},\qquad u_L=L\frac{di_L}{dt}

储能

W_C=\frac12Cu_C^2,\qquad W_L=\frac12Li_L^2

换路定律

u_C(0_+)=u_C(0_-),\qquad i_L(0_+)=i_L(0_-)

只约束状态变量；电容电流、电感电压可以跃变。

三要素公式

f(t)=f(\infty)+\left[f(0_+)-f(\infty)\right]e^{-t/\tau}

令 t=0 检验：右边应回到 f(0+)。

时间常数

\tau=R_{eq}C\quad\text{或}\quad \tau=\frac{L}{R_{eq}}

R_eq 从动态元件两端看进去，独立源置零，受控源保留。

零输入响应

f_{zi}(t)=f_{zi}(0_+)e^{-t/\tau}

$f_{zi}(0_+)$ 是独立源置零后的初值，不是全响应的 $f(0_+)$ 。

零状态响应

f_{zs}(t)=f_{zs}(\infty)+\left[f_{zs}(0_+)-f_{zs}(\infty)\right]e^{-t/\tau}

一般式。直流且 $f_{zs}(0_+)=0$ （状态变量 $u_C$ 、 $i_L$ ）时，才化成 $f(\infty)\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ 。

全响应分解

f(t)=f_{zi}(t)+f_{zs}(t)

按激励来源分解。零输入不是强制分量，零状态也不是自由分量。

强制加自由

f(t)=f_p(t)+f_h(t)

$f_p$ 是特解， $f_h$ 是齐次解。直流下前者为稳态、后者为暂态。这与零输入加零状态不是同一种分解。

直流稳态

C\ \text{开路},\qquad L\ \text{短路}

电感电压分段

u_L=L\frac{\Delta i}{\Delta t}

电流分段线性时，电压是分段常数；折点处电压跳变。

互感与去耦 08

互感电压

u_2=L_2\frac{di_2}{dt}\pm M\frac{di_1}{dt}

电流从同名端流入，在另一线圈同名端感应出“+”极性。

耦合系数

k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}\le1

顺向串联

L_{eq}=L_1+L_2+2M

反向串联

L_{eq}=L_1+L_2-2M

同向并联

L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}

同名端接在同一侧；分母符号与串联相反。

反向并联

L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}

T 型去耦（同名共端）

L_1'=L_1-M,\quad L_2'=L_2-M,\quad L_c=M

T 型去耦（异名共端）

L_1'=L_1+M,\quad L_2'=L_2+M,\quad L_c=-M

负电感只是数学等效，按 −jωM 正常参与运算。

常数与换算 05

常用根式

\sqrt2\approx1.414,\quad \sqrt3\approx1.732

常用倒数

\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707,\quad \frac{1}{\sqrt3}\approx0.577

工频角频率

f=50\ \text{Hz}\Rightarrow \omega=100\pi\approx314\ \text{rad/s}

单位换算

1\ \text{k}\Omega=10^3\Omega,\quad 1\ \mu\text{F}=10^{-6}\text{F}

相量反变换

\dot U=220\angle0^\circ\ \text{V}\Rightarrow u(t)=220\sqrt2\cos(100\pi t)\ \text{V}