电路小抄

电路题的第一步不是列方程，而是把图“看薄”：理想导线缩成点，并联支路排成一排，未知量压到最少的独立节点上。

1.1节点、支路与独立方程

1.2KCL 与 KVL：先分清对象

1.3参考方向与功率符号

参考方向是人为约定。算出的 $I>0$ 表示实际方向与参考方向相同；$I<0$ 只表示相反，不是算错。

$p=ui,\qquad \sum p_{\text{发出}}=\sum p_{\text{吸收}}.$

1.4网孔电流法：自阻为正，互阻看方向

1.5回路电流法：自阻为正，互阻看公共支路

网孔法是平面图上的特例。一般情形选 $l=b-n+1$ 个独立回路，以回路电流为未知量。两个回路写成

$R_{11}I_1+R_{12}I_2=U_{s11},\qquad R_{21}I_1+R_{22}I_2=U_{s22}.$

全取顺时针时，公共支路上两电流反向，互阻为负。这和网孔法是同一条规则。

1.6结点电压法：自导为正，互导为负

选一个参考结点，其余 $n-1$ 个结点电压为未知量。两个独立结点写成

$G_{11}U_1-G_{12}U_2=I_{s11},\qquad -G_{21}U_1+G_{22}U_2=I_{s22}.$

无伴电流源不必配电阻，它的电流直接写入所在结点的 $I_{skk}$。

1.7单节点 KCL：把整条母线当成一个点

识别特征：所有支路都并联在上下两根公共母线之间，只有一个非参考节点。

$\sum I_{\text{流入}}=\sum I_{\text{流出}},\qquad I=\frac{V_{\text{起}}-V_{\text{终}}}{R}.$

1.8叠加定理：能叠加什么

1.9戴维南与诺顿：一端口压成两个参数

$I=\frac{U_{oc}}{R_{eq}+R_L},\qquad P_{\max}=\frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}\ \ (R_L=R_{eq}).$

只有受控源、没有独立源时，不能直接置零求电阻：在端口外加 $1\,\mathrm{V}$ 电压源，测端口电流 $I$，则 $R_{eq}=1/I$；或外加 $1\,\mathrm{A}$ 电流源，测端口电压 $U$，则 $R_{eq}=U/1$。

诺顿等效为 $I_{sc}$ 与 $R_{eq}$ 并联，且 $I_{sc}=U_{oc}/R_{eq}$。

1.10替代定理：用已知的 $u$ 或 $i$ 换掉这条支路

一条支路的电压为 $u$、电流为 $i$。把它换成电压等于 $u$ 的电压源，或电流等于 $i$ 的电流源，其余支路的电压和电流不变。

替代：$U_s=u$，或 $I_s=i$。

1.11最大功率传输：先分清哪一个量可以调

$U_{oc}$ 和 $R_{eq}$（正弦稳态是 $Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq}$）都从负载两端看进去，负载本身不算进去。

直流：$U_{oc}=12\,\mathrm{V}$，$R_{eq}=3\,\Omega$，则 $R_L=3\,\Omega$，$P_{\max}=12^2/(4\times 3)=12\,\mathrm{W}$。

正弦：$\dot U_{oc}=10\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$，$Z_{eq}=3+j4\,\Omega$。共轭匹配时 $Z_L=3-j4\,\Omega$，$P_{\max}=10^2/(4\times 3)\approx 8.33\,\mathrm{W}$。若只能接纯电阻，$R_L=5\,\Omega$，$P_{\max}=10^2/[2(3+5)]=6.25\,\mathrm{W}$。

1.12Δ-Y 变换：只认三端网络

1.13电容与电感网络：反着记、顺着记

两个电容串联也常写成 $C_{eq}=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$；两个电感并联同理。

1.14本章速记

正弦稳态的难点不在微积分，而在换成复数域之后仍然知道每个符号的物理含义；功率部分则要分清“消耗的”“交换的”“设备容量”。

2.1相量法四步

设同频率正弦量统一写成余弦形式：

$u(t)=U_m\cos(\omega t+\psi).$

2.2$j$ 的几何意义：旋转 90°

$j=1\angle90^\circ,\qquad -j=1\angle-90^\circ.$

2.3阻抗与电路性质

$Z=R+jX,\qquad X=X_L-X_C=\omega L-\frac{1}{\omega C},$

$\lvert Z\rvert=\sqrt{R^2+X^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{X}{R}=\psi_u-\psi_i.$

阻抗与导纳的串并联：

$Z_{eq}=\sum Z_i,\qquad Y_{eq}=\sum Y_i,\qquad Y=G+jB.$

2.4串联谐振

$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},$

$Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR},\qquad BW=\frac{\omega_0}{Q}.$

2.5并联谐振：品质因数和串联对调

理想并联是电流源并上 $R$、$L$、$C$。谐振时电纳为零，角频率与串联相同：

$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}},\qquad Q=\dfrac{R}{\omega_0 L}=\omega_0 CR=R\sqrt{\dfrac{C}{L}},\qquad BW=\dfrac{\omega_0}{Q}.$

此时端口阻抗最大，等于 $R$。电流源激励下端口电压最大，$U=I_s R$；两支路电流 $I_L=I_C=QI_s$，大小相等、相位相反，可以远大于总电流。这是电流谐振。

更常考的是线圈与电容并联：线圈的 $r$ 与 $L$ 串联，再与 $C$ 并联，外面接电压源。能谐振的条件是 $r<\sqrt{L/C}$。

$\omega_0=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{r^2}{L^2}},\qquad Z_0=\dfrac{L}{rC}.$

$Z_0$ 为纯电阻，电压源供电时总电流最小。线圈的品质因数仍是 $Q=\omega_0 L/r$。$Q$ 高时，电容电流与线圈电流接近反相，幅值约为总电流的 $Q$ 倍。

2.6相量图与交流表读数

相量域 KVL 仍然是

$\dot U=\dot U_R+\dot U_L+\dot U_C,$

但这是矢量相加，不是模值相加。取电流为参考相量：

RC 串联中 $\dot U_R\perp\dot U_C$，所以

$V_3=\sqrt{V_1^2+V_2^2}.$

若 $V_1=3\,\mathrm{V}$、$V_2=4\,\mathrm{V}$，则 $V_3=5\,\mathrm{V}$，不是 $7\,\mathrm{V}$。

2.7四种功率：谁消耗、谁交换、谁表征容量

瞬时功率不指定哪一个相量作为时间参考。记 $\varphi=\psi_u-\psi_i$，则

$p(t)=UI\cos\varphi+UI\cos(2\omega t+\psi_u+\psi_i).$

第一项是平均值 $P$。第二项以 $2\omega$ 振荡，平均值为零，振幅是 $UI$，不是 $Q$。

只有取电流为参考（$\psi_i=0$，$\psi_u=\varphi$）时，才化成 $UI\cos\varphi\,(1+\cos 2\omega t)-UI\sin\varphi\,\sin 2\omega t$。这时第二项的振幅才是 $\lvert Q\rvert$。减号来自这个参考，不是普适写法。§2.6 的相量图用的就是电流参考。（错题 2026-10-31）

2.8复功率：为什么电流要取共轭

$\tilde S=\dot U\dot I^*=UI\angle(\psi_u-\psi_i)=UI\cos\varphi+jUI\sin\varphi=P+jQ.$

闭合系统内复功率守恒：

$\sum\tilde S=0.$

2.9提高功率因数：并联电容在补什么

$I=\frac{P}{U\cos\varphi},\qquad Q_C=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2),$

$C=\frac{Q_C}{\omega U^2}=\frac{P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2)}{\omega U^2}.$

例：按工频 $f=50\,\mathrm{Hz}$（$\omega=100\pi$）计算。$P=10\,\mathrm{kW}$，$U=220\,\mathrm{V}$，$\cos\varphi_1=0.6$、$\cos\varphi_2=0.9$，则 $Q_C\approx 8.49\,\mathrm{kvar}$，$C\approx 559\,\mu\mathrm{F}$。$C$ 与 $f$ 成反比，换频率要重算。（错题 2026-10-31）

2.10典型例题：两个感性负载并联

$\cos\varphi=\frac{P}{S}=\frac{7}{7\sqrt2}\approx0.707.$

2.11本章速记

三相和变压器是“公式不难、符号易错”的典型：核心只有 $\sqrt3$ 的线相关系、$30^\circ$ 的超前滞后、以及理想变压器的 $n^2$ 折算。

3.1$\sqrt2$ 与 $\sqrt3$：一个来自时间，一个来自空间

3.2对称 Y 联结：正序时线电压超前相电压 $30^\circ$

下面的 $30^\circ$ 只对正序、对称 Y 成立。设 $\dot U_A=U_p\angle\psi_A$，$\dot U_B$ 滞后 $120^\circ$，则

$\dot U_{AB}=\dot U_A-\dot U_B=\sqrt3 U_p\angle(\psi_A+30^\circ).$

负序时 $\dot U_B$ 超前 $\dot U_A\ 120^\circ$，$\dot U_{AB}$ 滞后 $\dot U_A\ 30^\circ$，模仍是 $\sqrt3 U_p$。

3.3对称 Δ 联结：正序时线电流滞后相电流 $30^\circ$

记忆：Y 是“电压放大 $\sqrt3$”，Δ 是“电流放大 $\sqrt3$”。因为 Y 的线电压是两相电压之差，Δ 的线电流是两相电流之差。

3.4三相功率与两表法

$P=3U_pI_p\cos\varphi=\sqrt3 U_lI_l\cos\varphi,$

$Q=3U_pI_p\sin\varphi=\sqrt3 U_lI_l\sin\varphi,\qquad S=3U_pI_p=\sqrt3 U_lI_l.$

两表法的接法以 C 为公共线（这一相不串电流线圈）。$P_1$ 的电流线圈在 A 线，电压线圈接 A、C；$P_2$ 的电流线圈在 B 线，电压线圈接 B、C：

$P_1=\operatorname{Re}(\dot U_{AC}\dot I_A^*),\qquad P_2=\operatorname{Re}(\dot U_{BC}\dot I_B^*).$

对称、正序、$\varphi=\psi_u-\psi_i$ 时，$P_1=U_l I_l\cos(30^\circ-\varphi)$，$P_2=U_l I_l\cos(30^\circ+\varphi)$。感性 $\varphi>0$ 则 $P_1>P_2$；$\varphi>60^\circ$ 时 $P_2<0$，读数要倒换并记成负的。

3.5不对称三相：先算中性点位移

电源对称、负载不对称，都是 Y 接。导纳 $Y=1/Z$。没有中线时 $Y_N=0$。负载中性点 N′ 相对电源中性点 N 的电压为

$\dot U_{N'N}=\dfrac{\dot U_A Y_A+\dot U_B Y_B+\dot U_C Y_C}{Y_A+Y_B+Y_C+Y_N}.$

负载相电压用电源相电压减去这份位移，不是线电压：

$\dot U_{AN'}=\dot U_A-\dot U_{N'N},\qquad \dot I_A=\dot U_{AN'} Y_A.$

中线电流 $\dot I_N=\dot I_A+\dot I_B+\dot I_C=\dot U_{N'N}/Z_N$，从 N′ 流向 N。

一相开路：无中线，$Y_A=0$，$Y_B=Y_C$。对称电源满足 $\dot U_B+\dot U_C=-\dot U_A$，所以 $\dot U_{N'N}=-\dot U_A/2$。B、C 串联在线电压上；两阻抗相等时各承受 $U_l/2$。

3.6理想变压器：不是电感，是四端约束

$n=\frac{N_1}{N_2},\qquad \frac{\dot U_1}{\dot U_2}=n,\qquad \frac{\dot I_1}{\dot I_2}=\frac{1}{n}\ \text{或}\ -\frac{1}{n}.$

电流比的正负取决于参考方向：$\dot I_2$ 从副边同名端流出时取 $1/n$；两个电流都从同名端流入时取 $-1/n$。

理想条件：$L_1,L_2\to\infty$，$k=1$，无损耗、无储能。折算后变压器从等效电路里“消失”。

3.7副边是 RC 或 RL：先折算，再单回路

例：$n=2$，$Z_1=6+j8\,\Omega$，$Z_2=1-j4\,\Omega$。

3.8同名端与变比符号

同名端是绕向标记：电流同时从两个同名端流入时，自感磁通与互感磁通相互加强。它不等于“电流流入端”，也不等于“高电位端”。

3.9本章速记

动态电路的核心不是解微分方程，而是抓住“状态变量不能跃变”，把 $t<0$、$t=0_+$、$t\to\infty$ 三个时刻的电路分别看穿。

4.1电容与电感：记忆元件

$i_C=C\frac{du_C}{dt},\qquad u_L=L\frac{di_L}{dt}.$

4.2串并联：电容反着记，电感顺着记

两个电感并联：$L_{eq}=\dfrac{L_1L_2}{L_1+L_2}$。

4.3换路定律与 $0_+$ 等效

$u_C(0_+)=u_C(0_-),\qquad i_L(0_+)=i_L(0_-).$

4.4三要素法：一个公式管一阶电路

$f(t)=f(\infty)+\left[f(0_+)-f(\infty)\right]e^{-t/\tau},\qquad t\ge0.$

$R_{eq}$ 从动态元件两端看进去：独立电压源短路、独立电流源开路，受控源保留，并且要用换路后的拓扑。

4.5零输入、零状态与全响应

$f(t)=f_{zi}(t)+f_{zs}(t).$

直流激励下零输入最终衰减为零，所以 $f(\infty)=f_{zs}(\infty)$。若待求量还是状态变量 $u_C$ 或 $i_L$，则 $f_{zs}(0_+)=0$，零状态才化成 $f_{zs}(t)=f(\infty)\left(1-e^{-t/\tau}\right)$，此时 $f_{zi}(0_+)$ 也才等于全响应的 $f(0_+)$。

4.6一阶电路五步法

4.7分段线性电感电压

$u_L=L\frac{\Delta i_L}{\Delta t}.$

已知 $L=1\,\mathrm{H}$，电流分段线性：

4.8一阶 RC 全响应例

已知 $U_C(0_+)=6\,\mathrm{V}$，$U_C(\infty)=12\,\mathrm{V}$，$\tau=0.04\,\mathrm{s}$，$C=20\,\mu\mathrm{F}$。

$u_C(t)=12+(6-12)e^{-t/0.04}=12-6e^{-25t}\,\mathrm{V},$

$i_C(t)=C\frac{du_C}{dt}=20\times10^{-6}\times150e^{-25t}=3e^{-25t}\,\mathrm{mA}.$

4.9本章速记

互感电路的难，不在公式多，而在“同名端 + 电流方向 + 电压参考方向”三件事同时出现。先把极性定死，再决定列方程还是去耦。

5.1同名端：绕向的标记

当两个线圈的电流同时从某一对端子流入时，如果自感磁通与互感磁通相互加强，这对端子就叫同名端，用圆点或星号标记。

5.2互感电压的极性：一条规则

规则：施感电流从一个线圈的同名端流入时，它在另一个线圈上感应出的互感电压，以该线圈的同名端为正极性。

$u_2=L_2\frac{di_2}{dt}\pm M\frac{di_1}{dt},\qquad \dot U_2=j\omega L_2\dot I_2\pm j\omega M\dot I_1.$

列方程固定五步：标同名端 → 标电流方向 → 标电压参考方向 → 判断施感电流从哪端流入 → 定互感项正负。

5.3互感串联：顺接加 $2M$，反接减 $2M$

等效阻抗 $Z=j\omega L_{eq}$。

例：$R=2\,\Omega$，$j\omega L_1=2j\,\Omega$，$j\omega L_2=4j\,\Omega$，$j\omega M=2j\,\Omega$，顺接：

$Z_{ab}=2+j(2+4+2\times2)=2+j10\,\Omega.$

5.4互感并联：分母符号与串联相反

例：$L_1=6\,\mathrm{H}$，$L_2=4\,\mathrm{H}$，$M=2\,\mathrm{H}$，同向并联：

$L_{eq}=\frac{6\times4-2^2}{6+4-2\times2}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\,\mathrm{H}.$

5.5T 型去耦：把磁耦合变成纯电连接

当两个耦合电感共用一个节点（三端网络）时，可以等效成三个无互感电感，接成 T 型。

口诀：同名共端，两臂减 $M$、公共加 $M$；异名共端，两臂加 $M$、公共减 $M$。

例：$L_1=6\,\mathrm{H}$，$L_2=4\,\mathrm{H}$，$M=2\,\mathrm{H}$，同名端都在外侧 $A$：

$L_1'=4\,\mathrm{H},\quad L_2'=2\,\mathrm{H},\quad L_c=2\,\mathrm{H},$

$L_{ab}=(4\parallel2)+2=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}\,\mathrm{H}.$

5.6理想变压器与耦合电感：不要混为一谈

5.7本章速记